luas daerah yang dibatasi kurva y=4x-x^2,y=x^2-6x,garis x=0dan x= 4 adalah....satuan.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x - x², y = x² - 6x, garis x = 0, dan x = 4 adalah ...

Jawaban

Pendahuluan

Ini merupakan persoalan mengenai integral luas daerah. Terdapat daerah yang dibatasi oleh beberapa fungsi kurva dan garis. Sebelum mengerjakan pengintegralan terlebih dahulu dilakukan pembuatan grafik kurvanya.

Pembahasan

Step-1: membuat grafik kurva y = 4x - x²

Sesuai bentuk umum fungsi kuadrat y = ax² + bx + c, untuk a < 0 kurva terbuka ke bawah.

Titik potong kurva pada sumbu y (x = 0) adalah (0, 0).

Titik potong kurva pada sumbu x (y - 0), diolah dengan melakukan pemfaktoran sebagai berikut:

4x - x² = 0

x(4 - x) = 0 ⇒ x = 0 dan x = 4 ⇒ (0, 0) dan (4, 0)

Step-2: membuat grafik kurva y = x² - 6x

Sesuai bentuk umum fungsi kuadrat y = ax² + bx + c, untuk a > 0 kurva terbuka ke atas.

Titik potong kurva pada sumbu y (x = 0) adalah (0, 0).

Titik potong kurva pada sumbu x (y - 0), diolah dengan melakukan pemfaktoran sebagai berikut:

x² - 6x = 0

x(x - 6) = 0 ⇒ x = 0 dan x = 6 ⇒ (0, 0) dan (6, 0)

Step-3: pengintegralan luas daerah

Sesuai gambar terlampir, daerah yang akan dicari luasnya dibatasi oleh kurva y = 4x - x², y = x² - 6x, garis x = 0 dan x = 4. Garis x = 0 dan x = 4 adalah garis tegak yang memotong sumbu x pada absis x = 0 dan x = 4.

Integral luas daerah merupakan integral tertentu yang memiliki batas bawah dan batas atas, dan di soal ini batas bawah (kiri) adalah x = 0 serta batas atas (kanan) adalah x = 4. Fungsi kurva yang membatasi daerah arsiran bagian atas adalah y = 4x - x² sedangkan bagian bawah daerah arsiran dibatasi oleh y = x² - 6x. Proses integral diawali dengan mengurangi fungsi atas dengan fungsi bawah.

[tex]Luas=\int\limits^4_0 {(4x-x^2)-(x^2-6x)} \, dx[/tex]

[tex]Luas=\int\limits^4_0 ({-2x^2+10x}) \, dx[/tex]

[tex]Luas=-\frac{2}{3}x^3+5x^2\left \| {{4} \atop {0}} \right.[/tex]

[tex]Luas=[-\frac{2}{3}(4)^3+5(4)^2]-[-\frac{2}{3}(0)^3+5(0)^2][/tex]

[tex]Luas=-\frac{128}{3}+80[/tex]

[tex]Luas=-\frac{128}{3}+\frac{240}{3}[/tex]

[tex]Luas=\frac{112}{3}[/tex]

Kesimpulan

Dari seluruh langkah pengerjaan di atas, diperoleh luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x - x², y = x² - 6x, garis x = 0, dan x = 4 sebesar [tex]\boxed{\frac{112}{3}~atau~37\frac{1}{3}~satuan~luas}[/tex]

Pelajari lebih lanjut

1. Integral dengan metode substitusi brainly.co.id/tugas/10221072

2. Pembahasan 20 soal integral brainly.co.id/tugas/2828210

3. Sebuah persoalan integral luas  brainly.co.id/tugas/13042737

-----------------------------------------------------------

Detil Jawaban  

Kelas :  XI

Mapel : Matematika  

Bab :   Integral Tentu Luas dan Volum

Kode :  11.2.10.1

Kata Kunci:  luas, daerah, dibatas, fungsi, kurva, batas, bawah, atas, kuadrat, titik, potong, sumbu, pengintegralan