tentukan persamaan kuadrat yang akar akarnya lawan dari persamaan kuadrat 3x² - 4x + 2 = 0

Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:

ax2 + bx + c = 0 , a ¹ 0                   a, b dan c adalah bilangan real.

1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:

a)       memfaktorkan,

b)       melengkapkan kuadrat sempurna,

c)       menggunakan rumus.

a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

ax2 + bx + c = 0   dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2) = 0.

Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.

Contoh 1 :

Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0

Jawab:    x2 – 4 x + 3 = 0

(x – 3) (x – 1) = 0

x – 3 = 0   atau    x – 1 = 0

x = 3   atau    x = 1

Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.

Contoh 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 2)2 = x – 2.

Jawab:         (x – 2)2 = x – 2

x2 – 4 x + 4 =  x – 2

x2 – 5 x + 6 = 0

(x – 3) (x – 2) = 0

x – 3 = 0   atau   x – 2 = 0

x = 3   atau          x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3 , 2}.

Contoh 3 :

Tentukan penyelesaian dari 2 x2 + 7 x + 6 = 0.

Jawab:    2 x2 + 7 x + 6 = 0

2 x2 + 4 x + 3 x + 6 = 0

2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0

(x + 2) (2 x + 3) = 0

x +2 = 0     atau  2 x + 3 = 0

x = –2   atau           x = – 1

Jadi, penyelesaiannya adalah  –2 dan –1.

b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Persamaan kuadrat  ax2 + bx + c = 0   dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)2 = q.

Contoh 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0.

Jawab:   x2 – 6 x + 5 = 0

x2 – 6 x + 9 – 4 = 0

x2 – 6 x + 9 = 4

(x – 3)2 = 4

x – 3 = 2  atau x – 3 = –2

x = 5    atau     x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian dari 2 x2 – 8 x + 7 = 0.

Jawab:   2 x2 – 8 x + 7 = 0

2 x2 – 8 x + 8 – 1 = 0

2 x2 – 8 x + 8 = 1

2 (x2 – 4 x + 4) = 1

2 (x – 2)2 = 1

(x – 2)2 = ½

x – 2 =    atau x – 2 = –

x = 2 + Ö2   atau x = 2 –Ö2

Jadi, penyelesaiannya adalah   2 + Ö2   dan   2 – Ö2.

c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x2 + b x + c = 0 adalah

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 7x – 30 = 0.

Jawab:   x2 + 7x – 30 = 0

a = 1  ,  b = 7  ,  c = – 30

x = 3   atau   x = –10

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.

Latihan 1

Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini:Nyatakan persamaan-persamaan kuadrat berikut dalam bentuk umum, kemudian tentukanlah akar-akarnya!Salah satu akar x2 – mx + 12 = 0 adalah 3. Hitunglah nilai m dan akar yang lain!Jika x = 1 memenuhi persamaan (a – 1)x2 + (3a – 1)x = 3a, hitunglah a dan akar yang lain!Untuk percetakan kartu nama, diperlukan kertas yang berbentuk persegi panjang dengan panjang dan lebarx2 – 3x + 2 = 0                                                                     f.   –2x2 + 8x – 9 = 03x2 – 9x = 0                                                                         g.   –6x2 + 10xÖ3 – 9 = 06x2 – 13x + 6 = 0                                                                h.   x2 – 2xÖ3 – 1 = 05p2 + 3p + 2 = 0                                                                  i.   x2 + x – 506 = 09x2 – 3x + 25 = 0                                                                j.   x2 – x + Ö2 = 22x – x(x + 3) = 0                                                              c.   (x – 3)2 + 2(x – 3) – 3 = 0(x – 3) (x + 2) – 2x2 + 12 = 0                                          d.

berselisih 4 cm, sedangkan luasnya 45 cm2. Hitunglah panjang dan lebar kartu nama itu!